Blog Ekkehard Friebe

FRIEBE, E. (1995): „Die Vektorprodukte der MAXWELL’schen Elektrodynamik“,
DPG-Didaktik-Tagungsband 1995, S. 394 – 399.
Hrsg.: Deutsche Physikalische Gesellschaft (Überarbeitete Fassung vom 9. Oktober 2002).

a) Zusammenfassung

Die MAXWELL’sche Elektrodynamik wird in der Regel in Form von Differentialgleichungen geschrieben. Diese haben ihren Ursprung in Vektorprodukten, aus denen durch Differentiation (Rotor-Operation) die homogenen Gleichungen der MAXWELL’schen Elektrodynamik ohne zusätzliche Annahmen direkt ableitbar sind. Das Vektorprodukt ist aus der klassischen Mechanik bekannt und dient dort vor allem zur Beschreibung des Drehmomentes, das sich aus dem Kraft-Vektor und dem Kraftarm-Vektor ableitet. Aus Dimensionsgründen gilt aber die Bedingung, daß der dem Vektorprodukt zugeordnete Vektor nicht mit einem normalen Vektor vektoriell addiert, subtrahiert oder multipliziert werden darf. Bei der MAXWELL’schen Elektrodynamik wird gegen diese Bedingung verstoßen. Daraus ergeben sich Fehlaussagen, die für die Probleme der speziellen Relativitätstheorie mit verantwortlich sind. Vor allem läßt sich aus der MAXWELL’schen Elektrodynamik eine Aussage über die Lichtgeschwindigkeit (angebliche absolute Konstanz) nicht ableiten.

b) Die Gleichungen der MAXWELL’schen Elektrodynamik

Die Elektrodynamik von MAXWELL (1865) ist seit ihrer ersten Formulierung vielfach verändert worden. Ihre Kernaussage ist aber stets die gleiche geblieben und findet ihren Ausdruck in den folgenden Gleichungen. Man nennt sie auch die homogenen Gleichungen der MAXWELL’schen Elektrodynamik:

Dabei sind gemäß Voraussetzung

von Ort und Zeit unabhängige Konstanten. Der Operator   rot    in den vorstehenden Gleichungen stellt in bekannter Weise eine spezielle Differentiation nach drei Raumkoordinaten dar. Bei Zusammenführung beider Gleichungen (1) und (2) – unter Anwendung der sogenannten Wellen- gleichung – ergibt sich als Wellengeschwindigkeit:

Diese Wellengeschwindigkeit   c    wird in der Regel als „Vakuum-Lichtgeschwindigkeit“ bezeichnet. Da die Größen

üblicherweise als Naturkonstanten des Vakuums interpretiert werden, ist daraus eine absolute Konstanz der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit gefolgert worden. Diese Folgerung galt viele Jahre als experimentell bestens bestätigt und war dadurch zu einem wissenschaftlichen Dogma erstarrt. Durch die umfangreichen Untersuchungen von KANTOR (1976) (siehe auch: FRIEBE, E. 1992) ist aufgezeigt worden, daß die Lichtgeschwindigkeit in Wirklichkeit von der Bewegung ihrer Quelle zum Zeitpunkt der Emission von der bewegten Quelle abhängt. Es sind daher auch Überlichtgeschwindigkeiten zwanglos möglich (vgl. KANTOR 1976, Seite ’v’: ’PREFACE’, siehe auch: FRIEBE, E. 1992).

Die Gleichungen (1) und (2) sind zunächst nicht auf „bewegte Systeme“ anwendbar, d. h. auf solche Systeme, bei denen Lichtquelle und Lichtempfänger (Sendeantenne und Empfangsantenne) relativ zueinander bewegt sind. Eine mathematische „Transformation“ auf bewegte Systeme ist bisher mit den sogenannten Lorentztransformationen versucht worden, die wesentlicher Bestandteil der speziellen Relativitätstheorie sind. Diese führten aber zu zahlreichen Widersprüchen („Paradoxa“), wie die öffentliche Diskussion der speziellen Relativitätstheorie gezeigt hat (vgl. FRIEBE, E. 1992). Im folgenden soll nun die Ursache dieser Widersprüche aufgezeigt werden.

c) Die der MAXWELL’schen Elektrodynamik zugrundeliegenden Vektorprodukte

Unabhängig davon, wie MAXWELL seinerzeit zu seinen Gleichungen gekommen ist, müssen wir uns vor Augen halten, worin diese ihren eigentlichen Ursprung haben. In anderem Zusammenhang hat POHL (1967, S. 80/81 und S. 142/143) wesentlich einfachere Gleichungen zur Elektrodynamik angegeben, welche als Vektorprodukte formuliert sind. Sie lauten:

In diesen Gleichungen stellt   ×  den Operator für das jeweilige Vektorprodukt und u zunächst den Vektor einer beliebigen Geschwindigkeit dar, die prinzipiell sowohl kleiner als auch größer als die bekannte Vakuum-Lichtgeschwindigkeit sein kann. Für den Fall der Ausbreitung elektromagnetischer „Wellen“ ist u gleich der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c, deren Betrag sich nach POHL 1967, S. 142, aus seiner Gleichung (154) errechnet, die mit der oben genannten Gleichung (3) identisch ist. Wesentlich ist, daß in den Gleichungen (80) und (83) – im Gegensatz zu den Gleichungen (1) und (2) – die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit als ein echter, dreidimensionaler Vektor auftritt.

Die Gleichungen (80) und (83) von POHL (1967) stellen die eigentliche Grundlage der MAXWELL’schen Theorie deshalb dar, weil aus ihnen durch Differentiation (Rotor-Operation) die Gleichungen (1) und (2) ohne zusätzliche Annahmen direkt ableitbar sind. Dabei folgt Glg. (1) aus Glg. (80) und Glg. (2) aus Glg. (83). (siehe: FRIEBE, E. 2002)

In der MAXWELL’schen Theorie wird – gemäß Lehrbuch – die Lichtgeschwindigkeit c [vgl. Glg. (3)] durch Verknüpfung der Gleichungen (80) und (83) – über den Umweg der davon ableitbaren Gleichungen (1) und (2) – errechnet. Keine der Gleichungen (80), (83), [oder (1) und (2)] ist für sich zur Berechnung von  c hinreichend. Denn keine dieser vier Gleichungen enthält beide Konstanten

Gemäß Glg. (80) ist aber der Vektor H ein Vektorprodukt, das – wie nachstehend anhand des Drehmomentes der klassischen Mechanik näher erläutert wird – nicht mit einem normalen Vektor vektoriell multipliziert werden darf. Der Vektor H aus Glg. (80) darf also nicht mit der Glg. (83) verknüpft werden. Das gleiche gilt für den Vektor E der Gleichung (83), der ebenfalls ein Vektorprodukt darstellt und daher nicht mit Glg. (80) mathematisch verknüpft werden darf. Die Lichtgeschwindigkeit c kann also aus den Gleichungen (80) und (83) [oder (1) und (2)] – entgegen zahlreichen Lehrbuchdarstellungen – nicht abgeleitet werden. Dies soll im folgenden gezeigt werden.

d) Das Drehmoment der klassischen Mechanik

In der klassischen Mechanik wird neben dem Begriff Kraft, der zur Darstellung linear gerichteter Wirkungen dient, auch der Begriff Drehmoment zur Darstellung von drehend angreifenden Wirkungen verwendet. Das Drehmoment kann auch als die Wirkung eines Kräftepaares zweier entgegengerichteter, gleichgroßer, paralleler Kräfte beschrieben werden. Für eine mathematische Behandlung wird das Drehmoment in der Regel als Vektorprodukt in folgender Weise formuliert:

Der Vektor (M ) des Vektorproduktes steht gemäß Definition senkrecht auf der Ebene der beiden anderen Vektoren (a und F). Sein Richtungssinn ist durch die sogenannte Schraubenregel festgelegt. Diese Schraubenregel wird durch BILD 1 veranschaulicht, das dem Buch entnommen ist:

„Physik – Ein Lehrbuch“ von Wilhelm H. Westphal,
13. Auflage (1948), Seite 18, Abb. 14.

Aus der Gegenüberstellung der Skizzen a) und b) von BILD 1 ist ersichtlich, daß sich – abhängig von der Reihenfolge der Faktoren des Vektorproduktes – der Richtungssinn des Vektors des Vektorproduktes umkehrt. Diese Darstellung als Vektor und dessen Richtungssinn ist eine reine Konvention und wird durch eine rechtsgängige Schraube – als eine Art Eselsbrücke – plausibel gemacht. Diese Festlegung bietet die Möglichkeit, daß mehrere Vektorprodukte (z. B. Drehmomente) wie normale Vektoren (z. B. Kräfte) vektoriell addiert und subtrahiert (nicht jedoch multipliziert) werden können. Wegen des qualitativen Unterschiedes eines drehend angreifenden Drehmomentes (Dimension: [kp m]) gegenüber einer linear gerichteten Kraft (Dimension: [kp]) gilt aber die Bedingung, daß der Vektor eines Drehmomentes nicht mit dem Vektor einer Kraft vektoriell addiert, subtrahiert oder multipliziert werden darf.

Diese bei der klassischen Mechanik ohne weiteres aus der reinen Anschauung heraus einsichtige Bedingung gilt aus Dimensionsgründen auch allgemein für Vektorprodukte. Bei mathematischen Ableitungen, bei denen aus der Anschauung heraus eine Überprüfung nicht üblich oder nicht möglich ist, ist daher die Beachtung dieser Bedingung besonders wichtig. In der MAXWELL’schen Elektrodynamik jedoch ist diese Bedingung außer acht gelassen worden. Hierbei wird nämlich sowohl das Formelsymbol E als auch das Formelsymbol H  wechselweise einem normalen Vektor und einem Vektorprodukt zugeordnet. Dies verletzt die zu fordernde Identität und ist aus Dimensionsgründen unzulässig. Der dadurch bedingte Fehler kann auch nicht durch Multiplikation mit einem Skalar

bereinigt werden. Deshalb ist die MAXWELL’sche Theorie in wesentlichen Teilen fehlerhaft [vgl. auch CATT (1980)].

e) Experimentelle Bestätigungen der Elektrodynamik

Es könnte nun der Einwand erhoben werden, daß sich die MAXWELL’sche Elektrodynamik in der Praxis hervorragend bewährt habe und weitgehend experimentell bestätigt worden sei. Diese Aussage beruht auf grundlegenden Mißverständnissen.

Ausgangspunkt der MAXWELL’schen Gleichungen waren die experimentellen Untersuchungen von FARADAY. Hierauf nimmt MAXWELL (1865) speziell Bezug. Besondere Bedeutung kommt dabei dem Induktionsgesetz nach FARADAY zu, das bereits vor der Formulierung der MAXWELL’schen Elektrodynamik experimentell bestätigt war und der Theorie als Grundlage diente. Die mathematische Beschreibung des Induktionsgesetzes durch die Glg. (2) hat sich seit vielen Jahrzehnten hervorragend bewährt. Das Induktionsgesetz wird in der Fachliteratur zutreffend und sehr ausführlich behandelt.

Zur Formulierung der Glg. (1) dagegen führte MAXWELL – in Ermangelung experimenteller Ergebnisse – die Hypothese vom Verschiebungsstrom (displacement current) ein.

Dies soll an BILD 2 veranschaulicht werden, das die elektrische Entladung eines Plattenkondensators durch einen zeitlich veränderlichen Strom zeigt. Die MAXWELL’sche Hypothese besagt nun, daß nicht nur der Strom im elektrischen Leiter von magnetischen Feldlinien (H,  BILD 2 links), sondern daß auch zeitlich veränderliche elektrische Felder

(rechte Seite der Glg. 1) von eben solchen magnetischen Feldlinien umgeben seien (H,  BILD 2 rechts)

Durch die sehr ausführlichen Untersuchungen von CATT (1978, 1979, 1982, 1984, 1985, 2001, 2002) ist inzwischen gezeigt worden, daß diese MAXWELL’sche Hypothese – entgegen einer weitverbreiteten Meinung – nicht der physikalischen Realität entspricht. BILD 3, das aus CATT (1979) – geringfügig abgeändert – entnommen ist, macht dies deutlich. Ein elektromagnetischer Impuls (BILD 3, oben) würde auf einer Übertragungs-Doppelleitung (Lecher-Leitung, BILD 3, unten) sich selbst vorauslaufen, wenn – außer den elektrischen Leitern – auch die E-Feldlinien von H-Feldlinien ringförmig umgeben wären. Überlichtgeschwindigkeiten relativ zur Doppelleitung wären die Folge. (Näheres hierzu siehe CATT 1978, 1979, 1982, 1984, 1985, 2001, 2002). Diese Betrachtung zeigt die Unrichtigkeit der genannten MAXWELL’schen Hypothese.

Im allgemeinen wird behauptet, die MAXWELL’sche Hypothese sei bereits vielfach experimentell bestätigt worden. Diese Aussage beruht auf grundlegenden Irrtümern. Beispielsweise schreibt POHL auf S. 78 seines Lehrbuches von 1967 (Zitat, im Original kein Fettdruck):

„Ein wirklicher Beweis für das Magnetfeld des Verschiebungsstromes kann nur bei Benutzung ringförmig geschlossener elektrischer Feldlinien geführt werden. Er wird erst in Kap. XII erbracht, und zwar durch den Nachweis frei im Raum fortschreitender elektrischer Wellen. Bis dahin bleibt das Magnetfeld des Verschiebungsstromes eine nur plausibel gemachte Behauptung.“

Der sogenannte Nachweis des Verschiebungsstromes in Kap. XII bei POHL (1967), wird auf S. 139, Absatz 2, behandelt. Dort wird auf die Abb. 300 von S. 135 Bezug genommen. Die in Verbindung mit Abb. 300 besprochene Versuchsanordnung jedoch untersucht – im Gegensatz zur soeben zitierten Aussage – nur stehende elektrische Wellen auf einer Lecher-Leitung. Die oben in Verbindung mit BILD 3 besprochene Argumentation von CATT (1979) bezieht sich zwar ebenfalls auf eine Lecher-Leitung, nimmt aber auf einen fortschreitenden elektromagnetischen Impuls Bezug. Erst dadurch wird die Unrichtigkeit der MAXWELL’schen Hypothese erkennbar. Um Mißverständnisse zu vermeiden, muß jedoch darauf hingewiesen werden, daß durch die Untersuchungen von CATT lediglich der angebliche Beweis für das Magnetfeld des Verschiebungsstromes widerlegt wird (vgl. hierzu den ersten Satz des vorgenannten Zitats von POHL 1967, S. 78). Der Gedanke einer Fortsetzung eines elektrischen Leiterstromes durch die Feldlinien eines elektrischen Feldes (z. B. in einem Kondensator gemäß BILD 2) bleibt davon unberührt, auch wenn dies nur eine nützliche Hilfsvorstellung bedeutet.

f) Qualitative Betrachtung

Ergänzend zu den Untersuchungen von CATT (1978, 1979, 1982, 1984, 1985, 2001, 2002) soll noch auf rein qualitative Weise gezeigt werden, daß die MAXWELL’sche Elektrodynamik fehlerhaft ist.

BILD 4, das einer Originalarbeit von MAXWELL aus dem Jahre 1861 entnommen ist, läßt erkennen, welche Modellvorstellung der mathematischen Formulierung MAXWELLs ursprünglich zugrunde liegt. Es folgt daraus ein Ausbreitungsverhalten der elektro-magnetischen Erscheinungen, wie es z. B. im Handbuch von THEIMER (1986, Seite 125) veranschaulicht wird (BILD 5).

Dieses Verhalten wurde noch nie beobachtet und weicht auch erheblich von der Darstellung gemäß BILD 6 (nach POHL 1967, S. 141/142) ab, welches das tatsächliche Ausbreitungsverhalten wiedergibt. Hierbei zeigt BILD 6A und 6B die Verteilung des elektrischen, BILD 6C die Verteilung des magnetischen Feldes um einen Dipol.

Der entscheidende Unterschied beider Darstellungen liegt darin, daß gemäß BILD 6 für die magnetischen Feldlinien nur ein axialsymmetrisches Zentrum um den erregenden Dipol vorhanden ist, während gemäß BILD 5 eine unbegrenzte Zahl solcher Zentren unterstellt wird, die als ringförmige magnetische Feldlinien in den Raum hinauswandern. BILD 5 stellt keinen Sonderfall des Ausbreitungsverhaltens nach BILD 6 dar. Auch lassen sich die beiden Bilder nicht ineinander überführen.

Aufgrund der vorstehenden Untersuchungen, die auf den Ergebnissen von CATT (1978, 1979, 1982, 1984, 1985, 2001, 2002) aufbauen, sind daher die Glg. (1) und die ihr entsprechende Glg. (80) ersatzlos zu streichen. Es verbleiben nur noch die Glgn. (2) oder (83). Eine Verknüpfung zweier Gleichungen ist nun nicht mehr möglich und deshalb kann auch jeweils die rechte Seite der Glgn. (2) oder (83) entfallen, so daß nur noch das Induktionsgesetz in folgender Formulierung verbleibt:

g) Alternativer mathematischer Ansatz zur „Wellenausbreitung“

Schon WALTER RITZ (1878 bis 1909) (siehe RITZ 1908d) hat auf die Entbehrlichkeit der partiellen Differentialgleichungen nach MAXWELL hingewiesen. Er schreibt (Zitat nach RITZ, Übersetzung von DÜRR 1991, S. 8/9, siehe auch RITZ 1908d):

„Die Theorie läßt unendlich viele Lösungen zu, die alle den gesetzten Bedingungen entsprechen, aber der Erfahrung widersprechen und z. B. zu einem perpetuum mobile führen. Um solche Lösungen auszuschließen, muß man im Sinn einer Hypothese die Formeln der retardierten Potentiale einführen. Diese bringen die Unumkehrbarkeit der Erscheinungen in die Elektrodynamik, während die allgemeinen Gleichungen mit der Umkehrbarkeit verknüpft sind. Ich werde zeigen, daß sie, im Gegensatz zur überkommenen Meinung, nicht aus einer passenden Spezialisierung des Anfangszustandes ableitbar sind. Sie bedeuten eine neue Hypothese, und diese macht die partiellen Differentialgleichungen überflüssig.“

Wie würde nun ein alternatives mathematischer Konzept zur Beschreibung des Ausbreitungsverhaltens elektromagnetischer Erscheinungen aussehen? Man braucht hierzu lediglich auf einen bekannten Ansatz zurückzugreifen, nämlich auf die „Wellengleichung“ in integraler Form. Diese lautet:

Diese Gleichung gibt die Amplitude für eine fortschreitende eindimensionale „ Welle“ längs eines linearen Gebildes nach Ort und Zeit wieder. Sie gilt auch für eine zwei- oder dreidimensionale „Welle“ in Richtung x . Diese Abhängigkeit in ihrer dreidimensionalen, differentiellen Form hat RITZ als die Formeln der retardierten Potentiale bezeichnet. Um die Glg. (5) zu formulieren, bedarf es der MAXWELL’schen Gleichungen nicht. Letztere sind also nicht nur fehlerhaft sondern auch zur Beschreibung des Ausbreitungsverhaltens elektromagnetischer „Wellen“ entbehrlich.

Die Glg. (5) ist andererseits nicht an einen absoluten Raum bzw. ein Lichtmedium (Äther) gebunden. Sie kann daher auch zur Aufstellung einer ballistischen Theorie dienen, die eine konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elektromagnetischen „Welle“ relativ zur emittierenden Quelle voraussetzt, wie es WALTER RITZ schon in den Jahren 1908/1909 (vgl. Übersetzung aus 1991, siehe auch RITZ 1908d) gefordert hat. In der Arbeit: „Ballistische Modellvorstellung zur Elektrodynamik und Optik“ (FRIEBE, E. 1993) wird gezeigt, daß mit einer einfachen ballistischen Modellvorstellung, bei der die „elektrischen Kraftlinien“ nach FARADAY als materielle, korpuskular aufgebaute Ketten von Elementarteilchen beschrieben werden, alle wesentlichen elektromagnetischen Erscheinungen auf rein klassische Weise erklärt werden können.

Literatur

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