Die mathematischen Irrtümer von Isaac NEWTON
Vortrag auf der DPG-Didaktik-Frühjahrstagung am 12. März 1997 in Berlin
a) Zusammenfassung
Isaac NEWTON gilt allgemein als hervorragender Mathematiker. Es überrascht deshalb, daß Albrecht FÖLSING in seinem Buch von 1984: „Der Mogelfaktor“ auf Seite 91 schreibt (Zitat): „Eine peinlich genaue Analyse von NEWTONs Rechnungen, die der amerikanische Wissenschaftshistoriker Richard S. WESTFALL im Jahre 1973 veröffentlicht hat, förderte zutage, daß NEWTON sich die erstrebte Genauigkeit durch eine Vielzahl gekonnter kleiner Korrekturen ermogelt hatte“. Die Untersuchungen von WESTFALL betreffen hauptsächlich die Anpassung der Experimente an die Theorie. Es soll in meinem Vortrag gezeigt werden, daß NEWTON bereits bei seinem Versuch, unabhängig von dem empirisch begründeten 3. KEPLERschen Gesetz die Abhängigkeit der „Centripetalkraft“ entsprechend 1/r² mathematisch nachzuweisen, grundlegende mathematische Irrtümer unterlaufen sind.
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b) Veranlassung
In dem im Jahre 1989 erschienenen Buch: „Hegels Deutung der Gravitation – Eine Studie zu Hegel und Newton“ von Karl-Norbert IHMIG befindet sich folgende Aussage (Zitat von Seite 27 Mitte, ohne Anmerkungen):
| „Schon 1645 plädierte Bullialdus in seiner Astronomia Philolaica (im Gegensatz zu Kepler, der das einfache reziproke Verhältnis favorisierte) für eine Abnahme der Sonnenkraft im quadratischen Verhältnis der Entfernung. Ein anderes Beispiel wäre R. Hooke, der in einem Brief an Newton vom 6. 1. 1680 schrieb: |
| „But my supposition is that the Attraction always is in a duplicate proportion to the Distance from the Center Reciprocall.“ |
Das Problem lag für Hooke, wie für alle Newtonschen Vorgänger, darin, daß sie diese Abhängigkeit stets nur als gewisse Plausibilitätsannahmen aussprechen, aber nicht beweisen konnten. Newton gelang es, mittels der Huygensschen Formel für die Zentrifugalkraft ( F = n · v²/r ) und dem 3. Keplerschen Gesetz das „inverse-square-law“ zunächst für Kreise mathematisch abzuleiten. Im dritten Abschnitt des ersten Buches der Principia beweist Newton die Gültigkeit dieses Gesetzes, und darin ist wohl seine eigentliche mathematische Leistung zu sehen, auch für Ellipsen (sowie für andere Kegelschnitte). Mit der Bewunderung für die mathematische Genialität Newtons trat für viele die physikalische Bedeutung seines Werkes immer mehr in den Hintergrund; ein Effekt, der sicherlich von Newton selbst nicht ganz unbeabsichtigt war und der natürlich die Reibungspunkte mit Cartesianern erheblich verminderte.“ |
Dieser Hinweis zusammen mit den kritischen Äußerungen von FÖLSING (siehe Zusammenfassung oben) war für uns Veranlassung, die genannte mathematische Ableitung im dritten Abschnitt des ersten Buches der Principia einer kritischen Überprüfung zu unterziehen.
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c) Die mathematische Begründung der Abhängigkeit nach 1/r²
Es folgt nachstehend eine auszugsweise Wiedergabe des § 29 des dritten Abschnittes des ersten Buches von Newton, deutschsprachige Fassung, herausgegeben von Prof. Dr. J. Ph. WOLFERS, Berlin 1872 (Zitat):
Abschnitt III.
§. 29. Aufgabe. Ein Körper bewegt sich in einer Ellipse; man sucht das Gesetz der nach ihrem Brennpunkt gerichteten Centripetalkraft. Es sei S der Brennpunkt der Ellipse. Man ziehe SP, welche den Durchmesser DK in E und die Ordinate Qv in x schneidet und vollende das Parallelogramm QxPR.
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Zweiter Beweis. Da die nach dem Mittelpunkte der Ellipse gerichtete Kraft, vermöge welcher der Körper P sich auf jener bewegen kann, (nach §. 27., Zusatz 1.) dem Abstande PC des Körpers vom Mittelpunkte proportional ist; so ziehe man CE der Tangente PR parallel. Alsdann wird die Kraft, vermöge welcher derselbe Körper P sich um irgend einen anderen Punkt S in der Ellipse bewegen kann, wenn CE und PS sich in E schneiden, (nach §. 22., Zusatz 3.)
d. h. wenn S der Brennpunkt der Ellipse, also PE constant ist, indirekt
proportional. (Ende des Zitats)
Vorstehend ist nur der zweite Beweis des § 29 wiedergegeben, da dieser wesentlich kürzer ist als der erste Beweis und weil außerdem hierin die Unhaltbarkeit der gegebenen Ableitung besonders deutlich wird.
Durch Anwendung der black-box-Methode (ANNAHME, die eigentliche Ableitung sei in einem unzugänglichen schwarzen Kasten verborgen, die Prämissen und das Endergebnis seien aber bekannt) kann man nämlich bereits ohne Kenntnisnahme der Ableitungen der §§ 27 und 22 erkennen, daß das Endergebnis falsch sein muß.
Einerseits soll die nach dem Mittelpunkte C der Ellipse gerichtete Kraft dem Abstande PC des Körpers vom Mittelpunkte proportional sein, andererseits soll aber die nach dem Brennpunkte S gerichtete Kraft umgekehrt proportional dem Quadrat des Abstandes PS sein. Durch einen einfachen Grenzwertübergang von der Ellipse zum Kreis (der Kreis ist eine spezielle Form einer Ellipse) ist erkennbar, daß diese Aussage zu einem Widerspruch führt (Unstetigkeit des Grenzwertüberganges).
Was ist hier geschehen? Die vorausgesetzte, in § 27 gegebene Ableitung, die eine Ellipse als gegeben annimmt, ist fehlerfrei. Aus ihr folgt die am Anfang genannte Proportionalität. Zutreffend ist auch die Aussage, daß – für ein und dieselbe Ellipse – die Strecke PE konstant ist, wenn S der Brennpunkt der Ellipse ist. Fehlerhaft ist jedoch die Ableitung des § 22, die ihrerseits auf § 21 Bezug nimmt. Im § 21 wird nämlich eine Aussage, die für den Mittelpunkt C zutrifft, ohne stichhaltige Begründung auf andere Punkte, beispielsweise den Brennpunkt S, übertragen.
Die genannte Proportionalität folgt unmittelbar aus der Annahme einer Ellipse durch Newton. Und hierfür ist nur diese Proportionalität mathematisch korrekt.
Es ergibt sich daher, daß das „inverse-square-law“ (1/r²-Gesetz) für Ellipsen (und andere Kegelschnitte, z. B. Kreise) mathematisch falsch ist. Und gerade dieses sogenannte „Gesetz“ betrachtet Karl-Norbert IHMIG als NEWTONs eigentliche mathematische Leistung.
Ergänzend sei bemerkt, daß auch der erste Beweis des § 29 fehlerhaft ist, da er ebenfalls auf § 21 Bezug nimmt. Zusätzlich ist aber hierin noch ein die Infinitesimalrechnung betreffender Fehler enthalten. Eine ausführliche Analyse dieses Problems finden Sie unter: DPG-Frühjahrstagung 1997
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d) Die empirische Begründung der Abhängigkeit nach 1/r²
Es soll nun noch die NEWTON’sche Untersuchung für Kreise kurz angesprochen werden, auf die Karl-Norbert IHMIG hinweist (Zitat oben). Diese wird im zweiten Abschnitt des ersten Buches gebracht. Dort heißt es im § 18 (Zitat):
| „Zusatz 6. Sind die Quadrate der Umlaufzeiten den Cuben der Radien proportional, so verhalten sich die Centripetalkräfte indirekt wie die Quadrate der Radien, die Geschwindigkeiten aber indirekt wie die Quadratwurzeln der Radien; und umgekehrt.“ |
Man erkennt hierin im ersten Halbsatz der Aussage direkt das 3. KEPLER’sche Gesetz wieder, welches lautet:
Für alle Planetenbahnen ist das Verhältnis r³ / T² konstant.
Newton bringt aber für seine Aussage keine mathematische Ableitung, da er diese offenbar als bekannt voraussetzt. Er ergänzt hierzu jedoch folgende Anmerkung (Zitat aus § 19):
| „Der Fall des Zusatzes 6. findet bei der Bewegung der Himmelskörper statt (wie Wren, Hook und Halley ursprünglich gefunden haben), weshalb ich dasjenige, was sich auf die Abnahme der Centripetalkräfte im doppelten Verhältnis der Radien bezieht, im Folgenden näher auseinandersetzen werde. |
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Durch derartige Sätze hat Huygens in seinem vortrefflichen Werke über Pendeluhren die Kraft der Schwere mit den Centrifugalkräften umlaufender Körper verglichen.“ |
Erst in einer Erläuterung von Professor Dr. WOLFERS in der von ihm 1872 herausgegebenen deutschen Ausgabe der „Mathematischen Prinzipien der Naturlehre“ wird die genannte Aussage Newtons mittels des 3. KEPLER’schen Gesetzes und der HUYGENS’schen Formel für die Zentrifugalkraft abgeleitet. Wolfers bezieht sich dabei auf die verbalen Aussagen in Newtons § 18, die der Huygens’schen Formel entsprechen. Unsere Überprüfung hat die Richtigkeit dieser Ableitung ergeben.
Allerdings wird bei dieser Ableitung vorausgesetzt, daß das sogenannte 1. Gesetz Newtons:
| 1. Gesetz Jeder Körper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern (Zitat nach WOLFERS 1872, S. 32) |
ein allgemeingültiges Naturgesetz sei. In Wirklichkeit handelt es sich hierbei jedoch um ein Axiom im Sinne einer Festsetzung (Definition).
Außerdem ist das 3. KEPLER’sche Gesetz ein rein empirisches Gesetz, das nur für die damals bekannten Planeten experimentell bestätigt wurde. Die Newton’sche Aussage gemäß Zusatz 6 (Abhängigkeit gemäß 1/r² ), die etwa 200 Jahre lang von der überwiegenden Mehrzahl der Naturwissenschaftler als naturgesetzlich angesehen worden war, ist daher kein Naturgesetz sondern ebenfalls nur ein Axiom.
Es ergibt sich also die bemerkenswerte Tatsache, daß dasjenige, was Newton selbst rechnete, im Rahmen der vorgegebenen Prämissen mathematisch falsch war, während dasjenige, was als das Newton’sche Gravitationsgesetz in die Lehrbücher eingegangen ist, bereits von seinen Vorgängern formuliert worden war.
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e) Eine neue Interpretation der Schwerkraft
Bereits in dem im Jahre 1895 erschienenen Buch von ROSENBERGER: „Isaac Newton und seine physikalischen Principien“ werden wesentliche Zweifel an der Allgemeingültigkeit des sogenannten Gravitationsgesetzes laut. Wegen seiner Wichtigkeit ist dieses Buch im Jahre 1978 als Reprint neu erschienen. In der Schlußbetrachtung dieses Buches auf S. 527 heißt es beispielsweise (auszugsweises Zitat):
| „Die fast göttliche Autorität, welche NEWTON’s Lehren in dem ersten Jahrhundert nach ihrem Auftreten genossen, hat sich in den letzten fünfzig Jahren stark vermindert und die Verehrung NEWTON’s ist stellenweise in das Gegenteil verkehrt worden. Statt eines genialen Reformators, eines originellen Begründers der wahren Wissenschaft hat man in ihm nur noch einen zwar sehr fleißigen, aber doch höchst mittelmäßig begabten Forscher sehen wollen, der ein gänzlich verfehltes System der Optik zur Geltung gebracht, der nur aus den KEPLER’schen Gesetzen die schon darin enthaltene Idee der Gravitation ausgezogen und für seine Erfindung ausgegeben, und der endlich eine noch ziemlich verworrene Vorstellung von der Infinitesimalrechnung gehabt habe. |
| Müßten wir notwendig uns für eine der extremen Meinungen entscheiden, so würden wir trotz unserer oft entgegengesetzt scheinenden Ausführungen sicher nicht die letztere wählen. Es ist immer mißlich, geistige Größen ihrem Werte nach vergleichen und ihrer Größe nach ordnen zu wollen. Trotzdem darf man doch sagen, daß, Alles in Allem betrachtet, NEWTON an geistiger Kraft und Schärfe so weit über das gewöhnliche menschliche Maß hinausgeragt hat, wie weit wir das nur je an einem gottbegnadeten Menschen erfahren haben. Wenn wir in der vorliegenden Arbeit uns bemüht haben, neben den Momenten seiner Größe auch die Unvollkommenheiten, die Fehler und die menschlichen Schwächen an NEWTON hervorzuheben, so geschah das nicht, weil wir ihn auf irgend eine Weise in seiner Bedeutung herabsetzen wollten, sondern nur darum, weil uns eine Berücksichtigung dieser menschlichen Erdenreste für das Verständnis der wissenschaftlichen Arbeiten NEWTON’s selbst und noch mehr für die Beurteilung der Entwickelung der Wissenschaften nach NEWTON notwendig erschien.“ |
Die Untersuchungen von ROSENBERGER wurden – wie gesagt – 1895 veröffentlicht. Es wurde u. a. dadurch offensichtlich, daß die Axiomatik Newtons zur Beschreibung der Gravitation nicht länger haltbar war. Deshalb wurde die Gravitationstheorie EINSTEINs (sogenannte Allgemeine Relativitätstheorie) mit viel Enthusiasmus aufgenommen. Heute zeichnet sich aber immer deutlicher ab (vgl. beispielsweise FAHR 1995, TREFIL 1994, WEINBERG 1995), daß auch diese Theorie unüberbrückbare Schwierigkeiten mit sich bringt.
Nachstehend wird nun eine neue Interpretation der Schwerkraft gegeben, welche diese als eine dynamische Größe, ähnlich der Zentrifugalkraft, als Folge der Rotation unseres Planeten ERDE um seine eigene Achse beschreibt. Diese Interpretation basiert auf der Arbeit FRIEBE (1996). Sie wird deshalb als zukunftsweisend angesehen, weil sie mit der Tatsache im Einklang steht, daß Gravitationskräfte – im Gegensatz zu allen anderen Kräften außer der Zentrifugalkraft – nicht abschirmbar sind.
Nach dieser Interpretation ist die Schwerkraft eine dynamische Größe, die mit der Zentrifugalkraft (Fliehkraft) eng verwandt ist. Fährt man beispielsweise auf dem Oktoberfest oder einem anderen Rummelplatz mit dem Ketten-Karussell, dann fliegen die Sitze aufgrund der Zentrifugalkraft nach außen. Entsprechendes erlebt man beim Rotor, einem hohlzylindrischen Karussell, bei dem die Leute an den innenliegenden Wänden „kleben“ bleiben, wenn die Rotationsgeschwindigkeit groß genug ist. Das gleiche Prinzip liegt auch NEWTONs Eimerversuch zugrunde, der in diesem Zusammenhang immer wieder genannt wird. In all diesen Fällen wird deutlich, daß die Zentrifugalkraft ein dynamischer Vorgang ist.
Die Erklärung ist einfach: Infolge der natürlichen Trägheit streben die bewegten Massen danach, ihren Bewegungszustand aufrecht zu erhalten. Würden die Ketten des Ketten-Karussells reißen, so würden die Personen samt ihren Sitzen nach außen fliegen. Die Lehrbücher sagen nun: Sie fliegen linear-gleichförmig nach außen. Ist das richtig? Keiner scheint das bisher überprüft zu haben! Es ist nämlich zu berücksichtigen, daß die Massen eine Rotationsfrequenz haben, die gleich ist der Rotationsfrequenz des Karussells, von dem sie abgeworfen wurden (Drehimpuls-Erhaltungssatz).
Die neue Interpretation der Schwerkraft geht nun davon aus, daß die bewegten Massen der Himmelskörper aufgrund ihres mitgeführten Drehimpulses auf einer vergleichsweise großen Kreisbahn weiterfliegen. Der Radius dieser Kreisbahn ist abhängig von dem Verhältnis Impuls zu Drehimpuls. Ist der Drehimpuls gleich NULL, so ist der Radius gleich unendlich, die Masse fliegt tatsächlich – entsprechend dem 1. Axiom Newtons – linear-gleichförmig. Dieser letztere Fall ist aber beim Ketten-Karussell und ähnlichen Situationen nicht gegeben.
Jeder Stein, jedes Lebewesen, jeder Mensch und selbst jedes Luftmolekül auf der Erdoberfläche wird aufgrund der Eigenrotation der ERDE in 24 Stunden einmal herumgewirbelt. Die Geschwindigkeit auf der Erdoberfläche ist gar nicht so gering, wie man zunächst meinen könnte. Da der Erdumfang am Äquator ca. 40 000 km mißt, ist diese Geschwindigkeit etwa 1667 km/h. Sie beträgt also etwa das zehnfache der Geschwindigkeit eines Mittelklasse-Pkw. Ist der Radius der genannten, vom Verhältnis Impuls zu Drehimpuls abhängigen Kreisbahn größer als der Erdradius, so fliegen die Massen (Stein, Lebewesen, Mensch, Luftmolekül) zwanglos auf einer Kreis- oder Ellipsenbahn (KEPLER-Ellipse) um die ERDE herum. Ist aber der genannte Radius kleiner als der Erdradius, so kommt es zu einem dynamischen Zwangszustand, den wir als Schwerkraft empfinden. Die Größe dieser Schwerkraft ist einerseits davon abhängig, wie groß der Unterschied ist zwischen Erdradius und dem genannten, vom Verhältnis Impuls zu Drehimpuls abhängigen Radius, andererseits davon, wie groß die Masse des betrachteten Körpers ist, was den dynamischen Ursprung der Schwerkraft zusätzlich verdeutlicht. Denn auch die ebenfalls dynamisch bedingte Zentrifugalkraft ist um so größer, je größer die betrachtete Masse ist. Aus der Sicht dieser neuen Interpretation ist die Schwerkraft somit ein qualitativer Nachweis der Erdrotation. Im Rahmen dieser Interpretation muß das 1. Axiom Newtons (nicht mehr: 1. Gesetz) geringfügig abgeändert werden:
| 1. Axiom
Jeder Körper ohne Drehimpuls beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern |
Hierdurch wird eine mehr als 300 Jahre alte, dogmatische Einschränkung aufgehoben und der Weg frei, das Bewegungsverhalten von Körpern mit Drehimpuls zutreffend zu beschreiben. Dieses Bewegungsverhalten ist nämlich im allgemeinen krummlinig (Kreise, Ellipsen usw.). Es ist nicht mehr notwendig, fiktive gravitive Fernwirkungen einzuführen, um krummlinige Bewegungsbahnen verständlich zu machen. Wie in der Arbeit FRIEBE (1996) gezeigt wurde, sind die krummlinigen Bahnen von Himmelskörpern weder abhängig von der Größe einer zentralen Masse noch abhängig von dem Abstand der beteiligten Massen.
Hierdurch wird ferner der Begriff der absoluten Ruhe (beispielsweise: absoluter Raum, physikalischer Raum, Ätherhypothese, Neutrinomeer, Tachyonenfeld, Quantenvakuum) überflüssig. Das Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik wird zwanglos anwendbar, wie es EINSTEIN ursprünglich vermutet hatte (vgl. FRIEBE (1996), letzter Absatz).
Weitere Links:
THÜRING, B. (1967): „Das Inertial-System“, aus: „Die Gravitation und die philosophischen Grundlagen der Physik“, Verlag Duncker & Humblot, Berlin, Seiten 75 – 77 und 234 – 240
TETENS, H. (1984): „Der Glaube an die Weltmaschine – Zur Aktualität
der Kritik Hugo Dinglers am physikalischen Weltbild“, aus:
Janich, P. (Hrsg.): „Methodische Philosophie – Beiträge
zum Begründungsproblem der exakten Wissenschaften in
Auseinandersetzung mit Hugo Dingler“, Bibliographisches
Institut Mannheim, Wien, Zürich
FRIEBE, E. (1988): „Was sind physikalische Gesetze?“, Zeitschr.
„raum & zeit“, 32/88, S. 88 – 91
FRIEBE, E. (1989): „Sind die Axiome der NEWTON’schen Physik
widerspruchsfrei?“, Zeitschr. „raum & zeit“,
39/89, S. 91 – 94 und DPG-Didaktik-Tagungsband 1989, S. 424 –
429, Hrsg.: Prof. Dr. Wilfried Kuhn, Gießen
HILLE, H. (1995): „Das Realprinzip als Erkenntnisstrategie“,
DPG-Didaktik-Tagungsband 1995, S. 176 – 181. Hrsg.: Deutsche
Physikalische Gesellschaft
FRIEBE, E. (1998): „Das 1. Axiom NEWTONs – Ursache der weltweiten
Krise der Physik“, Vortrag auf der DPG-Frühjahrstagung,
Universität Regensburg, 26. März 1998, Fachverband
Didaktik der Physik
NEUNDORF, W. (1998): „Die Masse – Trägheit und Gravitation“, D – 03054 Cottbus
FRIEBE, E. (1999): „Eine Alternative zur Lösung des Gravitationsproblems“, Vortrag auf der DPG-Didaktik-Frühjahrstagung, Pädagogische Hochschule
Ludwigsburg, am 10. März 1999
FRIEBE, E. (2002): „Gravitation in neuer Sicht“, INTERNET
FRIEBE, E. (2003): „Der Einfluss der Eigenrotation der Planeten auf ihr Bewegungsbahn“, INTERNET
NEUNDORF, W. (2003): „Die Masse – Masse und Raum“, D – 03054 Cottbus
GÖDE WISSENSCHAFTSSTIFTUNG (2004),
Institut für Gravitationsforschung
Literatur
- 1. Januar 2024
- Allgemein
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