Blog Ekkehard Friebe

Im Folgenden bringe ich einen Auszug aus einer Arbeit von Paul V. Dunmore aus dem Jahre 1970 
mit dem Titel: „Trugschlüsse und ihre Anwendungen“.
Diese Arbeit ist ursprünglich erschienen in „New Zealand Mathematics Magazine“ 7, 15 (1970).
Revidiert vom Autor.

Zitat: 

Ungefähr in den letzten hundert Jahren hat die Mathematik ein kolossales Wachstum in ihrem Umfang, ihrer Kompliziertheit und in der Spitzfindigkeit ihrer Methoden durchgemacht. Als Folge davon entstand ein Bedarf an flexibleren Methoden, Lehrsätze zu beweisen, als es mit den bisherigen mühseligen, schwierigen, umständlichen, strengen Methoden möglich war. Die neuen Methoden werden von einem bereits weit entwickelten Zweig der Mathematik geliefert. der unter dem Namen „verallgemeinerte Logik“ bekannt ist. Ich möchte nicht die Theorie der verallgemeinerten Logik im Detail entwickeln, doch muss ich einige notwendige Ausdrücke einführen. In der klassischen Logik besteht ein Theorem aus einem wahren Satz, für den ein klassischer Beweis existiert. In der verallgemeinerten Logik lockern wir beide Einschränkungen: Ein verallgemeinertes Theorem besteht aus einem Satz, für den es einen verallgemeinerten Beweis gibt. Ich glaube, daß die Bedeutung dieser Ausdrücke hinreichend klar sein sollte und wir keine ausführlichen Definitionen zu geben brauchen.

Anwendungen verallgemeinerter Beweise kann man überall finden. Professionelle Verfasser von Lehrbüchern benützen sie freizügigst, besonders wenn sie mathematische Ergebnisse in physikalischen Lehrbüchern beweisen. Vortragende finden, daß der Gebrauch verallgemeinerter Beweise es ihnen ermöglicht, komplexe Ideen mit Leichtigkeit den Studenten auf einem elementaren Niveau darzubieten (wobei sich selbst der Vortragende tieferes Verständnis ersparen kann.

Forscher, die möglichst schnell die Priorität eines neuen Resultates in Anspruch nehmen wollen, oder denen es an Zeit und Absicht mangelt, Genauigkeit walten zu lassen, finden verallgemeinerte Beweise beim Abfassen ihrer Arbeiten äußerst nützlich. In diesem Falle haben verallgemeinerte Beweise den weiteren Vorzug, daß das Ergebnis nicht unbedingt wahr sein muss und daher so eine reichlich mühsame(und jetzt überflüssige) Einschränkung der verwendeten mathematischen Methoden fallen gelassen werden kann.

Ich möchte jetzt einige der Beweismethoden betrachten, die im Rahmen der verallgemeinerten Logik zur Verfügung stehen. Hauptsächlich werde ich mich mit jenen Arten beschäftigen, in denen diese Methoden in Vorlesungsreihen angewendet werden können – es erfordert lediglich triviale Modifikationen, um sie in Lehrbüchern und Forschungsarbeiten zu verwenden.

Die Methoden der Reduktion sind als erste wert, erwähnt zu werden. Wie jedermann weiß, gibt es zwei Methoden dieser Art. Die reductio ad nauseam und die reductio ad erratum. Beide Methoden beginnen in der gleichen Weise. Der Mathematiker nimmt als Ausgangspunkt an, daß das zu beweisende Resultat falsch wäre und schreibt alle Folgerungen dieser Annahme auf, die er sich ausdenken kann. Beide Methoden sind besonders wirkungsvoll. wenn ihre Konsequenzen in willkürlicher Reihenfolge niedergeschrieben werden, wenn möglich kreuz und quer auf der Tafel verteilt.

Obwohl die Methoden in der gleichen Weise beginnen, ist ihr Ziel doch verschieden. In der „reductio ad nauseam“ ist es die Absicht des Vortragenden, alle seine Hörer einzuschläfern und sie davon abzubringen, mitzuschreiben. Wobei das letztere die wesentlichere Bedingung ist. Der Vortragende braucht nur die Tafel zu löschen und zu verkünden: „Auf diese Weise kommen wir zu einem Widerspruch und daher ist das Resultat gezeigt“. Dies braucht er jedoch nicht etwa laut zu sagen, ist es doch in jedem Fall das Signal, auf das jeder Hörer im Unterbewussten gewartet hat. Nun werden sie alle wieder munter und aufmerksam,. jedermann wird dann das Gefühl haben, man sollte sich den letzten Teil bei einem Kollegen besorgen. Wenn wirklich niemand mehr mitgeschrieben hat, ja dann gibt es auch keinen Kollegen mehr, bei dem man es abschreiben kann und das Resultat ist bewiesen.

In der Methode „reductio ad erratum“ ist das Ziel etwas subtiler. Wenn der Beweis nur kompliziert und sinnlos genug ist, muss sich zwangsläufig ein Fehler einschleichen. Die ersten paar dieser Fehler werden wohl von einem aufmerksamen Auditorium aufgegriffen, doch früher oder später wird man es geschafft haben; eine Zeitlang wird dieser Fehler unbemerkt, sozusagen schlafend, tief verborgen in den Formeln liegen, doch schließlich wird er zum Vorschein kommen und seine Existenz dadurch zeigen, daß ein Widerspruch mit irgend etwas auftritt, was ebenfalls benötigt wird. Das Theorem ist somit bewiesen.

Man sollte noch zur Kenntnis nehmen, daß bei der zuletzt beschriebenen Methode der Vortragende sieh nicht unbedingt bewusst zu sein braucht, daß er zufällig einen Fehler gemacht oder wie er diesen Fehler verwendet hat. Es gibt wahre Meister dieser Methode, die tiefe und subtile Fehler innerhalb von zwei oder drei Zeilen machen können und sie innerhalb von Minuten dann wieder an die Oberfläche bringen können – all dies aufgrund eines instinktiven Prozesses, dessen sie sich gar nicht bewusst sind. Für Kenner, die wissen, worauf es ankommt, kann die unbewusste Artistik, die von einem wahren Virtuosen dieses Faches geboten wird, ein atemberaubender Genuss sein.

Es gibt eine weitere Klasse von Methoden, die dann in Frage kommen, wenn ein Vortragender von seiner Voraussetzung P zu einer Aussage A und von einer weiteren Aussage B zur gewünschten Schlussfolgerung C kommen kann, wenn er aber den Schritt von A nach B nicht vollziehen kann. Eine Anzahl von Techniken steht dem aggressiven Vortragenden in diesem Notfall zur Verfügung. Er kann niederschreiben: „Es gilt A“ und ohne Zögern hinzusetzen. „daher gilt auch B“. Wenn das Theorem uninteressant genug ist, so ist es unwahrscheinlich, daß irgendjemand das „daher“ infrage stellen wird. Dieses ist die Methode des Beweises durch Auslassung und es ist erstaunlich leicht, mit ihm auszukommen – oder anders gesagt – es ist erstaunlich leicht, ihn mit Erfolg anzuwenden.

Als weitere Möglichkeit steht der Beweis durch Irreführung zur Verfügung, bei dem eine Aussage, die etwa die Form „Aus A folgt B“ hat, bewiesen wird. Man kann stattdessen das Gegenteil, nämlich „aus B folgt A“ beweisen: Man kann darauf jede Wette abschließen, daß dies einen Anfängerkurs stets zufrieden stellen wird. Der Beweis durch Irreführung hat ein abzählbar unendliches Analogon, nämlich die Methode des Beweises durch konvergente Belanglosigkeiten, die dann angewendet werden kann, wenn der Vortragende nicht unter Zeitdruck steht.

Hin und wieder kann auch der Beweis durch Definition benützt werden: Der Vortragende definiert eine Menge S von beliebigen Größen, die er betrachtet und für die die Aussage B gültig ist und stellt fest, daß er in Zukunft nur mit Objekten aus S arbeiten wird. Selbst ein guter Jahrgang wird dies für bare Münze nehmen und nicht die Frage stellen, ob die Menge S nicht vielleicht leer wäre.

(Zitatende)

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Beste Grüße Ekkehard Friebe