{"id":2513,"date":"2009-08-17T09:21:03","date_gmt":"2009-08-17T08:21:03","guid":{"rendered":"http:\/\/ekkehard-friebe.de\/blog\/?p=2513"},"modified":"2009-08-17T09:27:42","modified_gmt":"2009-08-17T08:27:42","slug":"die-theorie-der-verallgemeinerten-logik","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/ekkehard-friebe.de\/blog\/die-theorie-der-verallgemeinerten-logik\/","title":{"rendered":"Die Theorie der verallgemeinerten Logik"},"content":{"rendered":"

Im Folgenden bringe ich einen Auszug aus einer Arbeit von Paul V. Dunmore<\/strong> <\/em>aus dem Jahre 1970\u00a0
\nmit dem Titel:\u00a0„Trugschl\u00fcsse und ihre Anwendungen“.<\/strong>
\nDiese Arbeit ist\u00a0urspr\u00fcnglich erschienen in „New Zealand Mathematics Magazine“ 7, 15 (1970).
\nRevidiert vom Autor.\n<\/p>\n

Zitat:\u00a0<\/strong><\/p>\n

Ungef\u00e4hr in den letzten hundert Jahren hat die Mathematik ein kolossales Wachstum in ihrem Umfang, ihrer Kompliziertheit und in der Spitzfindigkeit ihrer Methoden durchgemacht. Als Folge davon entstand ein Bedarf an flexibleren Methoden, Lehrs\u00e4tze zu beweisen, als es mit den bisherigen m\u00fchseligen, schwierigen, umst\u00e4ndlichen, strengen Methoden m\u00f6glich war. Die neuen Methoden werden von einem bereits weit entwickelten Zweig der Mathematik geliefert. der unter dem Namen „verallgemeinerte Logik“ bekannt ist. Ich m\u00f6chte nicht die Theorie der verallgemeinerten Logik im Detail entwickeln, doch muss ich einige notwendige Ausdr\u00fccke einf\u00fchren. In der klassischen Logik besteht ein Theorem aus einem wahren Satz, f\u00fcr den ein klassischer Beweis existiert. In der verallgemeinerten Logik lockern wir beide Einschr\u00e4nkungen: Ein verallgemeinertes Theorem besteht aus einem Satz, f\u00fcr den es einen verallgemeinerten Beweis gibt. Ich glaube, da\u00df die Bedeutung dieser Ausdr\u00fccke hinreichend klar sein sollte und wir keine ausf\u00fchrlichen Definitionen zu geben brauchen.<\/p>\n

Anwendungen verallgemeinerter Beweise kann man \u00fcberall finden. Professionelle Verfasser von Lehrb\u00fcchern ben\u00fctzen sie freiz\u00fcgigst, besonders wenn sie mathematische Ergebnisse in physikalischen Lehrb\u00fcchern beweisen. Vortragende finden, da\u00df der Gebrauch verallgemeinerter Beweise es ihnen erm\u00f6glicht, komplexe Ideen mit Leichtigkeit den Studenten auf einem elementaren Niveau darzubieten (wobei sich selbst der Vortragende tieferes Verst\u00e4ndnis ersparen kann.<\/p>\n

Forscher, die m\u00f6glichst schnell die Priorit\u00e4t eines neuen Resultates in Anspruch nehmen wollen, oder denen es an Zeit und Absicht mangelt, Genauigkeit walten zu lassen, finden verallgemeinerte Beweise beim Abfassen ihrer Arbeiten \u00e4u\u00dferst n\u00fctzlich. In diesem Falle haben verallgemeinerte Beweise den weiteren Vorzug, da\u00df das Ergebnis nicht unbedingt wahr sein muss und daher so eine reichlich m\u00fchsame(und jetzt \u00fcberfl\u00fcssige) Einschr\u00e4nkung der verwendeten mathematischen Methoden fallen gelassen werden kann.<\/p>\n

Ich m\u00f6chte jetzt einige der Beweismethoden betrachten, die im Rahmen der verallgemeinerten Logik zur Verf\u00fcgung stehen. Haupts\u00e4chlich werde ich mich mit jenen Arten besch\u00e4ftigen, in denen diese Methoden in Vorlesungsreihen angewendet werden k\u00f6nnen – es erfordert lediglich triviale Modifikationen, um sie in Lehrb\u00fcchern und Forschungsarbeiten zu verwenden.<\/p>\n

Die Methoden der Reduktion sind als erste wert, erw\u00e4hnt zu werden. Wie jedermann wei\u00df, gibt es zwei Methoden dieser Art. Die reductio ad nauseam und die reductio ad erratum. Beide Methoden beginnen in der gleichen Weise. Der Mathematiker nimmt als Ausgangspunkt an, da\u00df das zu beweisende Resultat falsch w\u00e4re und schreibt alle Folgerungen dieser Annahme auf, die er sich ausdenken kann. Beide Methoden sind besonders wirkungsvoll. wenn ihre Konsequenzen in willk\u00fcrlicher Reihenfolge niedergeschrieben werden, wenn m\u00f6glich kreuz und quer auf der Tafel verteilt.<\/p>\n

Obwohl die Methoden in der gleichen Weise beginnen, ist ihr Ziel doch verschieden. In der „reductio ad nauseam“ ist es die Absicht des Vortragenden, alle seine H\u00f6rer einzuschl\u00e4fern und sie davon abzubringen, mitzuschreiben. Wobei das letztere die wesentlichere Bedingung ist. Der Vortragende braucht nur die Tafel zu l\u00f6schen und zu verk\u00fcnden: „Auf diese Weise kommen wir zu einem Widerspruch und daher ist das Resultat gezeigt“. Dies braucht er jedoch nicht etwa laut zu sagen, ist es doch in jedem Fall das Signal, auf das jeder H\u00f6rer im Unterbewussten gewartet hat. Nun werden sie alle wieder munter und aufmerksam,. jedermann wird dann das Gef\u00fchl haben, man sollte sich den letzten Teil bei einem Kollegen besorgen. Wenn wirklich niemand mehr mitgeschrieben hat, ja dann gibt es auch keinen Kollegen mehr, bei dem man es abschreiben kann und das Resultat ist bewiesen.<\/p>\n

In der Methode „reductio ad erratum“ ist das Ziel etwas subtiler. Wenn der Beweis nur kompliziert und sinnlos genug ist, muss sich zwangsl\u00e4ufig ein Fehler einschleichen. Die ersten paar dieser Fehler werden wohl von einem aufmerksamen Auditorium aufgegriffen, doch fr\u00fcher oder sp\u00e4ter wird man es geschafft haben; eine Zeitlang wird dieser Fehler unbemerkt, sozusagen schlafend, tief verborgen in den Formeln liegen, doch schlie\u00dflich wird er zum Vorschein kommen und seine Existenz dadurch zeigen, da\u00df ein Widerspruch mit irgend etwas auftritt, was ebenfalls ben\u00f6tigt wird. Das Theorem ist somit bewiesen.<\/p>\n

Man sollte noch zur Kenntnis nehmen, da\u00df bei der zuletzt beschriebenen Methode der Vortragende sieh nicht unbedingt bewusst zu sein braucht, da\u00df er zuf\u00e4llig einen Fehler gemacht oder wie er diesen Fehler verwendet hat. Es gibt wahre Meister dieser Methode, die tiefe und subtile Fehler innerhalb von zwei oder drei Zeilen machen k\u00f6nnen und sie innerhalb von Minuten dann wieder an die Oberfl\u00e4che bringen k\u00f6nnen – all dies aufgrund eines instinktiven Prozesses, dessen sie sich gar nicht bewusst sind. F\u00fcr Kenner, die wissen, worauf es ankommt, kann die unbewusste Artistik, die von einem wahren Virtuosen dieses Faches geboten wird, ein atemberaubender Genuss sein.<\/p>\n

Es gibt eine weitere Klasse von Methoden, die dann in Frage kommen, wenn ein Vortragender von seiner Voraussetzung P zu einer Aussage A und von einer weiteren Aussage B zur gew\u00fcnschten Schlussfolgerung C kommen kann, wenn er aber den Schritt von A nach B nicht vollziehen kann. Eine Anzahl von Techniken steht dem aggressiven Vortragenden in diesem Notfall zur Verf\u00fcgung. Er kann niederschreiben: „Es gilt A“ und ohne Z\u00f6gern hinzusetzen. „daher gilt auch B“. Wenn das Theorem uninteressant genug ist, so ist es unwahrscheinlich, da\u00df irgendjemand das „daher“ infrage stellen wird. Dieses ist die Methode des Beweises durch Auslassung und es ist erstaunlich leicht, mit ihm auszukommen – oder anders gesagt – es ist erstaunlich leicht, ihn mit Erfolg anzuwenden.<\/p>\n

Als weitere M\u00f6glichkeit steht der Beweis durch Irref\u00fchrung zur Verf\u00fcgung, bei dem eine Aussage, die etwa die Form „Aus A folgt B“ hat, bewiesen wird. Man kann stattdessen das Gegenteil, n\u00e4mlich „aus B folgt A“ beweisen: Man kann darauf jede Wette abschlie\u00dfen, da\u00df dies einen Anf\u00e4ngerkurs stets zufrieden stellen wird. Der Beweis durch Irref\u00fchrung hat ein abz\u00e4hlbar unendliches Analogon, n\u00e4mlich die Methode des Beweises durch konvergente Belanglosigkeiten, die dann angewendet werden kann, wenn der Vortragende nicht unter Zeitdruck steht.<\/p>\n

Hin und wieder kann auch der Beweis durch Definition ben\u00fctzt werden: Der Vortragende definiert eine Menge S von beliebigen Gr\u00f6\u00dfen, die er betrachtet und f\u00fcr die die Aussage B g\u00fcltig ist und stellt fest, da\u00df er in Zukunft nur mit Objekten aus S arbeiten wird. Selbst ein guter Jahrgang wird dies f\u00fcr bare M\u00fcnze nehmen und nicht die Frage stellen, ob die Menge S nicht vielleicht leer w\u00e4re.<\/p>\n

(Zitatende) <\/strong><\/p>\n

Lesen Sie bitte hier<\/span><\/a><\/strong> weiter!<\/p>\n

Beste Gr\u00fc\u00dfe Ekkehard Friebe<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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